Composicion de Funciones/ 8 de abril

8 de abril de 2013.

Composicion de Funciones

Dada dos funciones f y g, la funcion compuesta, denotada por f o g ( f compuesta con g) se define como: (f o g) (x) = f [g (x)], donde el dominio de f o g es el conjunto de numeros x en el dominio de g tales que g ( x) esta en el dominio de f. De igual forma se puede expresar como: (g o f) (x)= g [f(x)]

ej: f(x)= 2x^2 - 3

g (x) = 4x

h(x)= x+4

Encontrar:

1. (f o g) (x)= f [g (x)]

=2 (4x) ^ 2 - 3

=12(16x ^2) -3

= 32x^2 -3

2. (g o f) (x)= g [f( x)]

= 4( 2x^2 - 3)

= 8x^2 - 12

3. (f o f) (x)= f[f (x)]

=2 (2x^2-3)^2

=2 [( 2x^2 - 3) (2x^2 -3) ] -3

=2 [4x^4 - 6x^2 -  6x^2 +9] -3

=2 [4x^4 - 12x^2 +9] -3

= 8x^4- 24x^2 +18 -3

= 8x^4 - 24x^2 +15





Operaciones con Funciones/ 2 de abril

2 de abril de 2013.

Operaciones con Funciones

Suma
A) (f+g) (x) 

 (f+g) (2)= 3x-2 +x^3

= 3(2) -2 + (2)^3

=6-2 + 8

= 122

Resta

B) (f-g) (x) 

=(f-g) (-3)= 3x - 2- x^3

= 3(-3) -2 -(-3)^3

=-9 -2 + 27

= -11 + 27

= 16

Multiplicación

C) (fg) (x) 

(fg) (1/2)= (3x - 2) (x^3)

=[ 3 (1/2) - 2] [ (1/2) ^3]

=[ 3/2 -2] [1/8]

=-1/16

División

D)(f/g) ( 3√X )  
3X - 2 / X^3
3( 3√X) - 2 / ( 3√X)^3
= 3√X - 2 / X



Tecnicas de Trazado de Grafica

            14 de marzo de 2013
  Técnicas de Trazado de Gráfica

- Gráfica de funciones básicas
B. Desplazamiento Horizontal
( no respeta signo)

Y = f ( x + k )
 - Si K > 0, la gráfica se mueve K unidades hacia la izquierda.
 - Si K < 0, la gráfica se mueve K unidades hacia la derecha.

Gráficas de Funciones Basicas

 
                                         13 de marzo de 2013
     Gráficas de Funciones Básicas

   El rango de la función son todos los valores de Y que hacen cierta la variable independiente X.

1. Función De Identidad -       Y = X
2. Función Lineal -                  Y = mx + b
3. Función Cuadrática -          Y = X^2
4. Función Cubica -                Y = X^3
5. Función Raíz Cuadrada -     Y raíz cuadrada X
6. Función Valor Absoluto -    Y = | x |
7. Función Racional -              Y = 1/X
8. Función Constante -            Y = b
9. Función Raíz Cubica -         Y = 3raiz cuadrada X

 Trazado de Gráficas - A) Desplazamiento Vertical
                                          Y = f (x) + C
  - Si C > 0 , la gráfica se mueve C unidades hacia arriba.
  - Si C < 0, la gráfica se mueve C unidades hacia abajo.

Dominio de Funciones/ 11-marzo

11 de marzo de 2013.

Dominio de Funciones

- A menudo el dominio de una funcion no aparece especificado; la funcion aparece indicada por una ecuacion en dos variables.

-En ese caso, Df= {xE R/y = f (x) R}

- Es decir, el dominio de la funcion f es el conjunto mayor de numeros reales.

Ejemplo: f(x)= 1/x^2-9

=x^2-9 =/=  0

=/x^2 =/= +- /9

x=/= +- 3



Df= ( - infinito, -3) U (-3, 3) U (3, positivo infinito)

Cociente Diferencial/ 5 de marzo

5 de marzo de 2013.

Cociente Diferencial

Cociente Diferencial -- en el calculo existe una expresion muy especial llamado cociente diferencial.

f(x+h) - f(x)/ h, h=0

f(x) = 3x+2

Tres Pasos:

1. f(x+h)= 3(x+h) +2

=3x+3h + 2

2. f(x+h) - f(x)= 3x+3h+2-x-2)

=3x+3h+2-3x-2 (se cancela 3x, +2, -3x y -2)

= 3h

3. f(x+h) -f (x)/h = 3h/h ( se cancela h)\

= 3

 





Tecnicas de trazado de graficas

18-marzo-13

1. Reflejos 

eje de x

y = -f(x)

                                                                   

                       













2) Eje de y

y = f(-x)

Observaciones

4-marzo-13

• Las funciones se denotan por letras tales como: (f,F,g,G)

• LA funcion que a caada numero real le asigna su cuadrado, puede representarse como: f(x)=X^2, g(s) = S^2

• Es importante señalar que puede utilizarse cualquier letra para nombrar la variable independiente.

Ejemplos:

f(x) = y                              f(-3) = 2(-3) -3

y = 2x-3                                    = -6-3

f(x) = 2x-3                                = -9

Relaciones y Funciones

28-febrero-13

Prueba de la recta vertical

Teorema: Una ecuación define a una función si cada recta vertical en el sistema de coordenadas cartesianas pasa a lo mas por un punto de la gráfica de la ecuación  Si una recta vertical pasa por dos o mas puntos de la gráfica de una, entonces la ecuación no define una función. 

Funciones

                                                    27 de febrero de 2013
  Funciones

Una relación es una regla que establece una correspondencia entre dos conjuntos.
- Si X & Y son dos elementos de los conjuntos X & Y, decimos que X corresponde a Y o Y depende de X.

También podemos escribir X ---> Y o también podemos indicar la relación como un conjunto de pares ordenados. ( X, Y )

  Funcion

Sean X & Y dos conjuntos no vacías. Una función de X a Y es una relación en la cual cada elemento del conjunto X le corresponde un único elemento de Y.

X - variable independiente

Y - variable dependiente ( depende de X )

Definición Alterna de una función 

Una funcion es un conjunto de pares ordenados ( X,Y ) en el cual no existen 2 pares ordenados con el mismo primer elemento y segundo elemento diferente. 

Pendiente de Rectas Paralelas y Perpendiculares

                                                               19 de febrero de 2013
       Pendiente de Rectas Paralelas y Perpendiculares

Ej. Y = 2X + 5

Pendiente Paralela                       Pendiente Perpendicular
    m = 2                                            m = - 1/2   ( -1, 3 )
 ( 4, -1)                                        Y - Y1 = m ( X - X1)
Y - Y1 = m ( X - X1)                    Y - 3 = -1/2 ( X - (-1))
Y - ( -1)  = 2 ( X - 4)                   Y - 3 = -1/2 ( X + 1)
Y = 2X - 8 - 1                              Y - 3 =  1/2 X - 1/2
Y = 2X - 9                                    Y = -1/2 X - 1/2 + 3
                                                     Y = -1/2 X + 5/1

X  | Y
-3  -1                        Buscar la interseccion en X:
-2    1                          Y = 0
-1    3                          0 = 2X + 5        Paralela: m1 = m2
 0    5                         -5/2 = 2X/2
 1    7
 2    9                            -5/2 = X
-2.5  0

Buscar interseccion en X:         X  | Y
 Y = 2X - 9                             0     -9
0 = 2X - 9                               1     -7
9/2 = 2X/2                              2      -5
9/2 = X                                   3      -3
                                               4      -1
                                               5       1
                                               6       3
                                              4.5     0
Y =| ( -1/2) X + (5/2)
X  |  Y
-2   3.5
-1   3
 0    2.5
 1    2
 2    1.5
 3    1
 5    0                        

13 de febrero de 2013.

 

Rectas y sus Pendientes

 

Forma de punto pendiente

La elevacion de la recta que pasa por (x, y) y que tiene pendiente m se escribe en la forma:

 

Y-Y1=m(X-X1)

Paso 1:  Y-Y1=m (X-X1)
              Y-2=3(X-1)
               Y-2=3x-3
               Y=3x-3+2
               Y=3x-1
Paso 2: Buscar intercepto en x y luego en y

Paso 3: Buscar la tabla de valores usando la ecuacion dada, en este caso seria 2x-6. Luego graficar.



12 de febrero de 2013.

 

 

Rectas y sus pendientes

 

 

-Pendiente de una recta

Una recta se determina por dos puntos diferentes. Tambien queda determinadapor uno de sus puntos y alguna medida de su inclinacion de una recta se denomina pendiente.

Si x1 no es igual a x2, la pendiente de la recta a traves de los puntos diferemtes (x1,y1) y (x2, y2) es la siguiente.

 

  Formula:  m= y2-y1/x2-x1

m=positivo
m=negativo
m=0
m= no existe

 



Rectas y sus Pendientes

11-febrero-13

Graficas y Funciones

- Rectas y sus pendientes

Ecuacion Lineal en dos variables 

Ax + By = C

Forma estandar de la ecuacion lineal

Interceptos

Intercepto en X      Intercepto en Y

 Y = 0                     X = 0 

Ej. 2X + 3Y = b

Int. en X                     Int. en Y

( Y = 0 )                      ( X = 0 )

2X + 3(0) = 6               2(0)+ 3y = 6

2X/2 = 6/2                  3Y/3 = 6/3

X = 3 ( 3, 0)               Y = 2  ( 0 ,2)

2x+3y = 6                      

2(2)+3y =6

4+3y =6

3y =6-4

3y/3 = 2/3

Y = 2/3

2x+3y = 6             

2(1)+3y =6

3y =6-2

3y/3 = 4/3

Y = 4/3

2x+3y = 6             

2(-1)+3y =6

-2+3y=6

3y =6+2

3y/3 = 8/3

Y = 8/3

2x+3y = 6             

2(-2)+3y =6

3y =6+4

3y/3 = 10/3

Y = 10/3

Tabla de Valores

X	Y
3	0
0	2
2	2/3= 0.66
1	4/3= 1.33
-1	8/3
2	10/3

Graficas y Funciones

4 de febrero del 2013

Calcule:

a. Distancia entre puntos

b. punto medio

1.A(3,4);B(2,1)

2.A(-2,1);B(3,-2)

Distancia entre Puntos

                                                     1 de febrero de 2013
  Gráficas y Funciones
Distancia entre Puntos

A ( -1,-3)  B (6,1)  C ( 2,-5)

d AB = ( -1-6)^2 + (-3-1)^2
    = (-7)^2 + (-4)^2
        =    49 + 16
        = raiz cuadrada de 65
        = 8.06

d BC = (6 - 2)^2 + (1-(-5))^2
     = (4)^2 + ( 6)^2
          = 16 + 36
          = raiz cuadrada de 52
          = 7.21

d AC = ( -1-2)^2 + (-3-(-5))^2
     = ( -3)^2 + (2)^2
          = 9 + 4
          = raiz cuadrada de 13
          = 3.61

C^2 = a^2 + b^2
(65)^2 = (13)^2 + (52)^2
       65 = 13 + 52
       65 = 65

Punto Medio
Formula = 

Graficas y Funciones - Sistema de Coordenadas

                                                       31 de enero de 2013
  Gráficas y Funciones
Sistema de Coordenadas - Distancia y Punto Medio

Formula:
 
1. Halle la distancia entre el punto A ( 8, -5) y el punto B (3,7)

d = ( 3 - 8)^2 + ( 7-(-5)
 =  25 + 144
 = raíz cuadrada de 169
 = 13 unidades

Graficas y Funciones

30 de enero de 2013.

Graficas y Funciones

Punto A (-3,-3)

Punto B (4,-3)

Punto C (4,4)

Formula para la distancia entre puntos:

ej 1:  dAB = √ (x1 - x2)² + (y1 - y2)²

         dAB = √ (-3 - 4)² + (-3- 4)²
         dAB = √ (-7)² + (-7)²

         dAB = √ 49+ 49

         dAB = √ 98

         dAB= 9.89

        



 

Pautas para selencionar un Metodo de Conteo

22 de enero de 2013.

Pautas para seleccionar un metodo de conteo

1. Si los elementos seleccionados se pueden repetir, utilice el principio fundamental de conteo.

Cuantos numeros de cuatro digitos existen?

1er digito           2do digito         3er digito       4to digito

      9                        10                     10                   10        =  9.10.10.10 = 9,000

2. Si los elementos seleccionados no pueden repetirse y el orden es importante. utilice las permutaciones.

De cuantas formas se pueden formar en la fila de una taquilla tres de ocho personas?

P ( 8,3 ) =   8!

                (8-3)! =336

3.  Si los elementos no pueden repetirse y el orden no es importante, utilice las combinaciones.

De cuantas forma se puede elegir un comite de tres miembros en un grupo formado por 12 personas?

C (12, 3) =     12!

                3!(12-3)!  = 220



Combinaciones

17 de enero de 2013.

Combinaciones

En cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o con todos los elementos de un conjunto dado sin que ninguno se repita y sin importar el orden de ellos. Estasagrupaciones se diferencian entre si, solo por los elementos que las conforman.

C (n,r) =      n!

              r!(n-r)!

Permutaciones:

-No se permiten las repeticiones.

-El orden es importante.

-Arreglos de n elementos tomados r a la vez.

-P(n,r) = n!

              (n-r)!

-Palabras claves: arreglo, programacion, orden.

Combinaciones:

-No se permiten las repeticiones.

-El orden no es importante.

-Subconjuntos de elementos tomados r a la vez.

-C (n,r) = n!

              r!(n-r)!

-Palabras claves: conjunto, grupo, muestra, selecciones

Ej: Combinaciones

Todos los miembros de una fraternidad desesa ir a un evento especial este fin de semana, pero solo 10 de ellos. Se les permitira asistir. De cuantos miembros podria elegirse a los 10 de un grupode 48 miembros?

C (48,10) =    48!

                  10!(48-10)! = 6,540,715,896







Permutaciones

16-enero-13

Permutaciones

En el contexto de los problemas de conteo, a menudo a los arreglos se les conoce como permutaciones; el numero de permutaciones de n dígitos distintos tomados r a la vez, se escribe como P(n,r). Puesto que el numero de objetos que debe acomodarse no puede exceder al total disponible para nuestros objetivos suponemos que r<n. Al aplicar el principio fundamental de conteo para arreglos de este tipo obtenemos: P(n,r))= (n-1)(n-2)    [n-(r-1)]

Ejemplo: 1.¿De cuantas formas pueden acomodarse en fila los 5 miembros de un club para tomarse una fotografía?

5!= 5.4.3.2.1=120

2. ¿De cuantas formas pueden acomodarse en fila de 3 los 5 miembros de un club para tomarse una fotografía?

5.4.3=60

Factoriales 15-enero-13

                     15-enero-13              

Factoriales (!)

Esta sección comenzó con una exposición de números de tres dígitos no repetidos del conjunto {1,2,3}. El numero de posibilidades fue de:

De acuerdo con el principio fundamental de conteo esto es 3.2.1=6. Este producto también puede ser considerado como el numero total de disposiciones de los dígitos 1,2,3.

Por definición podemos decir:

Para cualquier numero natural n, la cantidad n factorial esta dada por: n!=n(n-1)(n-2)

Principio Fundamental de Conteo

                   
                                                       11 d enero de 2013
Cuando una tarea consiste en K fases separados, si la primera puede realizarse, en N1  formas, la segunda puede hacerse en N2 formas y asi hasta la K- esima fase, que puede hacerse NK formas. Entonces, el numero total de resultados posibles para completar la tarea esta dado por el producto de :

       N1  *  N2  * N3 .... NK

Ejemplo: Cuantos numeros naturales impares de tres digitos hay?

Parte de la tarea               1er Digito      2do Digito     3er Digito
Numero de Formas               8         *       8          *        5             = 320

Diagrama de Arbol

                                                                                   10 de enero de 2013
           Diagrama de Árbol
Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un procedimiento aleatorio. En el calculo de la probabilidad se requiere conocer el numero de elementos que forman parte del espacio muestra, estos se pueden determinar con la construcción del diagrama del árbol.

A) Se repiten

 A) Números
111            211       311
112            212       312
113            213       313
121            221       321
122            222       322
123            223       323
131            231       331
132            232       332
133            233       333

B. No se repiten los dígitos

Números:
123
132
213
231
312
321

 Combinaciones
Es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o con todos los elementos de un conjunto dado sin que ninguno se repita y sin importar el orden de ellos. Estas agrupaciones se diferencian entre si, solo por los elementos que las conforman.

9/enero/2013.

 

 

 

Tema: Metodos de conteo

 

 

-Los metodos de conte0 son estrategias utilizadas para determinar el numero de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento.

 

 

  A) Tareas con una fase

 

1. Lanzar una moneda al aire (2 posibles resultadoas)

2. Tirar un dado (6 posibles resultados)

3. Club de 5 miembros ( 5 posibles resultados)

 

B) Tareas con dos fases

Ej. Determine la cantidad de numeros de dos digitos que pueden escribirse con dos digitos.

 

 

 

 

 

1er digito	2do digito
	1             2            3
1	11           12         13
2	21           22          23
3	31           32           33