Composicion de Funciones/ 8 de abril

8 de abril de 2013.

Composicion de Funciones

Dada dos funciones f y g, la funcion compuesta, denotada por f o g ( f compuesta con g) se define como: (f o g) (x) = f [g (x)], donde el dominio de f o g es el conjunto de numeros x en el dominio de g tales que g ( x) esta en el dominio de f. De igual forma se puede expresar como: (g o f) (x)= g [f(x)]

ej: f(x)= 2x^2 - 3

g (x) = 4x

h(x)= x+4

Encontrar:

1. (f o g) (x)= f [g (x)]

=2 (4x) ^ 2 - 3

=12(16x ^2) -3

= 32x^2 -3

2. (g o f) (x)= g [f( x)]

= 4( 2x^2 - 3)

= 8x^2 - 12

3. (f o f) (x)= f[f (x)]

=2 (2x^2-3)^2

=2 [( 2x^2 - 3) (2x^2 -3) ] -3

=2 [4x^4 - 6x^2 -  6x^2 +9] -3

=2 [4x^4 - 12x^2 +9] -3

= 8x^4- 24x^2 +18 -3

= 8x^4 - 24x^2 +15





Operaciones con Funciones/ 2 de abril

2 de abril de 2013.

Operaciones con Funciones

Suma
A) (f+g) (x) 

 (f+g) (2)= 3x-2 +x^3

= 3(2) -2 + (2)^3

=6-2 + 8

= 122

Resta

B) (f-g) (x) 

=(f-g) (-3)= 3x - 2- x^3

= 3(-3) -2 -(-3)^3

=-9 -2 + 27

= -11 + 27

= 16

Multiplicación

C) (fg) (x) 

(fg) (1/2)= (3x - 2) (x^3)

=[ 3 (1/2) - 2] [ (1/2) ^3]

=[ 3/2 -2] [1/8]

=-1/16

División

D)(f/g) ( 3√X )  
3X - 2 / X^3
3( 3√X) - 2 / ( 3√X)^3
= 3√X - 2 / X



Tecnicas de Trazado de Grafica

            14 de marzo de 2013
  Técnicas de Trazado de Gráfica

- Gráfica de funciones básicas
B. Desplazamiento Horizontal
( no respeta signo)

Y = f ( x + k )
 - Si K > 0, la gráfica se mueve K unidades hacia la izquierda.
 - Si K < 0, la gráfica se mueve K unidades hacia la derecha.

Gráficas de Funciones Basicas

 
                                         13 de marzo de 2013
     Gráficas de Funciones Básicas

   El rango de la función son todos los valores de Y que hacen cierta la variable independiente X.

1. Función De Identidad -       Y = X
2. Función Lineal -                  Y = mx + b
3. Función Cuadrática -          Y = X^2
4. Función Cubica -                Y = X^3
5. Función Raíz Cuadrada -     Y raíz cuadrada X
6. Función Valor Absoluto -    Y = | x |
7. Función Racional -              Y = 1/X
8. Función Constante -            Y = b
9. Función Raíz Cubica -         Y = 3raiz cuadrada X

 Trazado de Gráficas - A) Desplazamiento Vertical
                                          Y = f (x) + C
  - Si C > 0 , la gráfica se mueve C unidades hacia arriba.
  - Si C < 0, la gráfica se mueve C unidades hacia abajo.

Dominio de Funciones/ 11-marzo

11 de marzo de 2013.

Dominio de Funciones

- A menudo el dominio de una funcion no aparece especificado; la funcion aparece indicada por una ecuacion en dos variables.

-En ese caso, Df= {xE R/y = f (x) R}

- Es decir, el dominio de la funcion f es el conjunto mayor de numeros reales.

Ejemplo: f(x)= 1/x^2-9

=x^2-9 =/=  0

=/x^2 =/= +- /9

x=/= +- 3



Df= ( - infinito, -3) U (-3, 3) U (3, positivo infinito)

Cociente Diferencial/ 5 de marzo

5 de marzo de 2013.

Cociente Diferencial

Cociente Diferencial -- en el calculo existe una expresion muy especial llamado cociente diferencial.

f(x+h) - f(x)/ h, h=0

f(x) = 3x+2

Tres Pasos:

1. f(x+h)= 3(x+h) +2

=3x+3h + 2

2. f(x+h) - f(x)= 3x+3h+2-x-2)

=3x+3h+2-3x-2 (se cancela 3x, +2, -3x y -2)

= 3h

3. f(x+h) -f (x)/h = 3h/h ( se cancela h)\

= 3

 





Tecnicas de trazado de graficas

18-marzo-13

1. Reflejos 

eje de x

y = -f(x)

                                                                   

                       













2) Eje de y

y = f(-x)

Observaciones

4-marzo-13

• Las funciones se denotan por letras tales como: (f,F,g,G)

• LA funcion que a caada numero real le asigna su cuadrado, puede representarse como: f(x)=X^2, g(s) = S^2

• Es importante señalar que puede utilizarse cualquier letra para nombrar la variable independiente.

Ejemplos:

f(x) = y                              f(-3) = 2(-3) -3

y = 2x-3                                    = -6-3

f(x) = 2x-3                                = -9

Relaciones y Funciones

28-febrero-13

Prueba de la recta vertical

Teorema: Una ecuación define a una función si cada recta vertical en el sistema de coordenadas cartesianas pasa a lo mas por un punto de la gráfica de la ecuación  Si una recta vertical pasa por dos o mas puntos de la gráfica de una, entonces la ecuación no define una función. 

Funciones

                                                    27 de febrero de 2013
  Funciones

Una relación es una regla que establece una correspondencia entre dos conjuntos.
- Si X & Y son dos elementos de los conjuntos X & Y, decimos que X corresponde a Y o Y depende de X.

También podemos escribir X ---> Y o también podemos indicar la relación como un conjunto de pares ordenados. ( X, Y )

  Funcion

Sean X & Y dos conjuntos no vacías. Una función de X a Y es una relación en la cual cada elemento del conjunto X le corresponde un único elemento de Y.

X - variable independiente

Y - variable dependiente ( depende de X )

Definición Alterna de una función 

Una funcion es un conjunto de pares ordenados ( X,Y ) en el cual no existen 2 pares ordenados con el mismo primer elemento y segundo elemento diferente. 

Pendiente de Rectas Paralelas y Perpendiculares

                                                               19 de febrero de 2013
       Pendiente de Rectas Paralelas y Perpendiculares

Ej. Y = 2X + 5

Pendiente Paralela                       Pendiente Perpendicular
    m = 2                                            m = - 1/2   ( -1, 3 )
 ( 4, -1)                                        Y - Y1 = m ( X - X1)
Y - Y1 = m ( X - X1)                    Y - 3 = -1/2 ( X - (-1))
Y - ( -1)  = 2 ( X - 4)                   Y - 3 = -1/2 ( X + 1)
Y = 2X - 8 - 1                              Y - 3 =  1/2 X - 1/2
Y = 2X - 9                                    Y = -1/2 X - 1/2 + 3
                                                     Y = -1/2 X + 5/1

X  | Y
-3  -1                        Buscar la interseccion en X:
-2    1                          Y = 0
-1    3                          0 = 2X + 5        Paralela: m1 = m2
 0    5                         -5/2 = 2X/2
 1    7
 2    9                            -5/2 = X
-2.5  0

Buscar interseccion en X:         X  | Y
 Y = 2X - 9                             0     -9
0 = 2X - 9                               1     -7
9/2 = 2X/2                              2      -5
9/2 = X                                   3      -3
                                               4      -1
                                               5       1
                                               6       3
                                              4.5     0
Y =| ( -1/2) X + (5/2)
X  |  Y
-2   3.5
-1   3
 0    2.5
 1    2
 2    1.5
 3    1
 5    0